ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 1 - 10

Решим иррациональное неравенство: $$ \sqrt{x+8} > x+2 $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x + 2 < 0, \\ x + 8 \ge 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ x + 8 > (x+2)^2. \end{cases} \end{gathered} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < -2, \\ x \ge -8 \end{cases} \iff -8 \le x < -2 $$ Таким образом, решение первой системы: $x \in [-8; -2)$. Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ x + 8 > x^2 + 4x + 4 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство системы: $$ x^2 + 3x - 4 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $$ Решением неравенства $x^2 + 3x - 4 < 0$ является интервал: $$ -4 < x < 1 $$ Пересечем полученный интервал с условием $x \ge -2$: $$ \begin{cases} x \ge -2, \\ -4 < x < 1 \end{cases} \iff -2 \le x < 1 $$ Таким образом, решение второй системы: $x \in [-2; 1)$. Объединим решения обеих систем: $$ [-8; -2) \cup [-2; 1) = [-8; 1) $$ Ответ: $[-8; 1)$