ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 1 - 18

18. Дано неравенство: $$ 8\sqrt{x^2 - 4x + 13} \le -\frac{x^2}{2} + 4x - 1 $$ Оценим множество значений левой и правой частей неравенства при всех действительных $x$. 1. Рассмотрим выражение в левой части: $f(x) = 8\sqrt{x^2 - 4x + 13}$. Выделим полный квадрат под знаком корня: $$ x^2 - 4x + 13 = (x^2 - 4x + 4) + 9 = (x - 2)^2 + 9 $$ Так как $(x - 2)^2 \ge 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$, то: $$ (x - 2)^2 + 9 \ge 9 $$ Следовательно: $$ \sqrt{x^2 - 4x + 13} \ge \sqrt{9} = 3 $$ Умножим обе части на $8$: $$ 8\sqrt{x^2 - 4x + 13} \ge 24 $$ Таким образом, наименьшее значение левой части равно $24$ (достигается при $x = 2$). 2. Рассмотрим выражение в правой части: $g(x) = -\frac{x^2}{2} + 4x - 1$. Выделим полный квадрат: $$ g(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x) - 1 = -\frac{1}{2}\big((x - 4)^2 - 16\big) - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 7 $$ Так как $-\frac{1}{2}(x - 4)^2 \le 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$, то: $$ -\frac{x^2}{2} + 4x - 1 \le 7 $$ Таким образом, наибольшее значение правой части равно $7$ (достигается при $x = 4$). 3. Сопоставим полученные оценки: $$ 8\sqrt{x^2 - 4x + 13} \ge 24 > 7 \ge -\frac{x^2}{2} + 4x - 1 $$ Левая часть неравенства при любых действительных $x$ строго больше правой части, следовательно, исходное неравенство не имеет решений. Ответ: нет решений (или $\varnothing$).