ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 10 / вариант 1 - 16

16. Решим иррациональное неравенство: $$ \sqrt{2 + \sqrt{x^2 + 2x + 5}} \leq 2 $$ 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выделим полный квадрат в подкоренном выражении внутреннего корня: $$ x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4 $$ Так как $(x + 1)^2 \geq 0$ при всех действительных $x$, то $(x + 1)^2 + 4 \geq 4 > 0$. Следовательно, выражение под внутренним корнем строго положительно при любых $x \in \mathbb{R}$. Выражение под внешним корнем: $$ 2 + \sqrt{x^2 + 2x + 5} \geq 2 + \sqrt{4} = 4 > 0 $$ Таким образом, неравенство определено на всей числовой прямой: $x \in \mathbb{R}$. 2. Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат: $$ 2 + \sqrt{x^2 + 2x + 5} \leq 4 $$ Вычтем $2$ из обеих частей неравенства: $$ \sqrt{x^2 + 2x + 5} \leq 2 $$ Обе части полученного неравенства неотрицательны, снова возведём их в квадрат: $$ x^2 + 2x + 5 \leq 4 $$ Перенесём слагаемые в левую часть: $$ x^2 + 2x + 1 \leq 0 $$ Свернём выражение по формуле квадрата суммы: $$ (x + 1)^2 \leq 0 $$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 1)^2 \geq 0$. Следовательно, неравенство выполняется только при равенстве нулю: $$ (x + 1)^2 = 0 $$ $$ x + 1 = 0 \iff x = -1 $$ Ответ: $-1$.