ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 2 - 21

Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{x^2+2x+8} = 12 - 2x - x^2 $$ Перепишем правую часть уравнения, сгруппировав слагаемые: $$ \sqrt{x^2+2x+8} = 12 - (x^2+2x) $$ Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2+2x+8}$. Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, наложим условие: $t \ge 0$. Возведем обе части равенства замены в квадрат: $$ t^2 = x^2+2x+8 \implies x^2+2x = t^2 - 8 $$ Подставим $t$ и $x^2+2x$ в исходное уравнение: $$ t = 12 - (t^2 - 8) $$ $$ t = 12 - t^2 + 8 $$ $$ t = 20 - t^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ t^2 + t - 20 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$ Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 4$. Значение $t = -5$ является посторонним. Вернемся к замене при $t = 4$: $$ \sqrt{x^2+2x+8} = 4 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^2+2x+8 = 16 $$ $$ x^2+2x - 8 = 0 $$ Найдем корни по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} \implies x_1 = -4, \quad x_2 = 2 $$ Проверка: 1) При $x = -4$: Левая часть: $\sqrt{(-4)^2 + 2 \cdot (-4) + 8} = \sqrt{16 - 8 + 8} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $12 - 2 \cdot (-4) - (-4)^2 = 12 + 8 - 16 = 4$. $4 = 4$ — равенство верно. 2) При $x = 2$: Левая часть: $\sqrt{2^2 + 2 \cdot 2 + 8} = \sqrt{4 + 4 + 8} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $12 - 2 \cdot 2 - 2^2 = 12 - 4 - 4 = 4$. $4 = 4$ — равенство верно. Ответ: $-4; 2$.