ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 2 - 20

Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2 $$ Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $$ Запишем соответствующую систему: $$ \begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ 2x^2 + 8x + 7 = (x + 2)^2 \end{cases} $$ Решим неравенство системы: $x \ge -2$. Раскроем скобки во втором уравнении: $$ 2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены: $$ 2x^2 - x^2 + 8x - 4x + 7 - 4 = 0 $$ $$ x^2 + 4x + 3 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 = 2^2 $$ $$ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 $$ Проверим найденные значения по условию $x \ge -2$: 1. При $x = -1$: $-1 \ge -2$ — верно, корень подходит. 2. При $x = -3$: $-3 \ge -2$ — неверно, это посторонний корень. Ответ: $-1$