ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 2 - 19

Решим иррациональное уравнение: $$ \sqrt{4 - 6x - x^2} = x + 4 $$ Данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 4 \ge 0, \\ 4 - 6x - x^2 = (x + 4)^2 \end{cases} $$ Пояснение: правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения. При этом условие неотрицательности подкоренного выражения $4 - 6x - x^2 \ge 0$ выполняется автоматически, поскольку оно приравнивается к квадрату числа $(x + 4)^2 \ge 0$. 1. Решим полученное алгебраическое уравнение: $$ 4 - 6x - x^2 = x^2 + 8x + 16 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 2x^2 + 14x + 12 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 + 7x + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -7, \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} $$ Отсюда находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -6$. 2. Проверим условие $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$: * при $x = -1$: $-1 \ge -4$ — верно, корень подходит; * при $x = -6$: $-6 \ge -4$ — неверно, $x = -6$ является посторонним корнем. Проверка для $x = -1$: $\sqrt{4 - 6 \cdot (-1) - (-1)^2} = \sqrt{4 + 6 - 1} = \sqrt{9} = 3$; $-1 + 4 = 3$. $3 = 3$ — равенство верно. Ответ: $-1$