ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 9 / вариант 1 - 21

**21. 8)** $$5\sqrt{x^2+5x+28} = x^2+5x+4$$ Заметим, что в левой и правой частях уравнения содержится одинаковое выражение $x^2+5x$. Введём новую переменную: Пусть $t = \sqrt{x^2+5x+28}$, причём $t \ge 0$. Возведём обе части замены в квадрат: $$t^2 = x^2+5x+28$$ Отсюда выразим $x^2+5x$: $$x^2+5x = t^2 - 28$$ Тогда правая часть исходного уравнения примет вид: $$x^2+5x+4 = t^2 - 28 + 4 = t^2 - 24$$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$5t = t^2 - 24$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$t^2 - 5t - 24 = 0$$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$$ $$t_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3$$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию. Возвращаемся к замене для $t = 8$: $$\sqrt{x^2+5x+28} = 8$$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$x^2+5x+28 = 64$$ $$x^2+5x+28 - 64 = 0$$ $$x^2+5x - 36 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$$ $$x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ **Проверка:** 1. При $x = 4$: Левая часть: $5\sqrt{4^2 + 5 \cdot 4 + 28} = 5\sqrt{16 + 20 + 28} = 5\sqrt{64} = 5 \cdot 8 = 40$. Правая часть: $4^2 + 5 \cdot 4 + 4 = 16 + 20 + 4 = 40$. $40 = 40$ — верно. 2. При $x = -9$: Левая часть: $5\sqrt{(-9)^2 + 5 \cdot (-9) + 28} = 5\sqrt{81 - 45 + 28} = 5\sqrt{64} = 5 \cdot 8 = 40$. Правая часть: $(-9)^2 + 5 \cdot (-9) + 4 = 81 - 45 + 4 = 40$. $40 = 40$ — верно. Ответ: $-9$; $4$.