ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 2 - 17

Решим неравенство: $$ \frac{(x-2)^2}{x+4} < 1 $$ Перенесём $1$ в левую часть неравенства: $$ \frac{(x-2)^2}{x+4} - 1 < 0 $$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(x-2)^2 - (x+4)}{x+4} < 0 $$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ (x-2)^2 - (x+4) = x^2 - 4x + 4 - x - 4 = x^2 - 5x = x(x - 5) $$ Получаем неравенство: $$ \frac{x(x - 5)}{x + 4} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = 0$ и $x = 5$. 2. Нули знаменателя: $x + 4 \ne 0 \implies x \ne -4$. Отметим граничные точки на числовой прямой (все точки выколотые, так как неравенство строгое): $-4$, $0$, $5$. Определим знаки выражения $\frac{x(x - 5)}{x + 4}$ на полученных интервалах: - на интервале $(5; +\infty)$: знак «$+$» (например, при $x = 6$: $\frac{6 \cdot 1}{10} > 0$); - на интервале $(0; 5)$: знак «$-$» (например, при $x = 1$: $\frac{1 \cdot (-4)}{5} < 0$); - на интервале $(-4; 0)$: знак «$+$» (например, при $x = -1$: $\frac{-1 \cdot (-6)}{3} > 0$); - на интервале $(-\infty; -4)$: знак «$-$» (например, при $x = -5$: $\frac{-5 \cdot (-10)}{-1} < 0$). Так как требуется определить, где выражение строго меньше нуля, выбираем интервалы со знаком «$-$»: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (0; 5) $$ --- *(Если условие задачи записано в виде целого неравенства $(x-2)^2 < x + 4$)*: $$ (x-2)^2 < x + 4 $$ $$ x^2 - 4x + 4 < x + 4 $$ $$ x^2 - 5x < 0 $$ $$ x(x - 5) < 0 $$ Корни уравнения $x(x - 5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому отрицательные значения лежат строго между корнями: $$ x \in (0; 5) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0; 5)$ (для неравенства $\frac{(x-2)^2}{x+4} < 1$).