ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 2 - 16

Решим каждое из неравенств методом интервалов. ### 1. Решение неравенства $x(x + 3) < 0$ Рассмотрим функцию $f(x) = x(x + 3)$. Найдем нули функции: $$ x(x + 3) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -3 $$ Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки $-3$ и $0$ являются выколотыми. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$. Определим знаки выражения $x(x + 3)$ на каждом интервале: * При $x \in (0; +\infty)$ (например, при $x = 1$): $1 \cdot (1 + 3) = 4 > 0$ (знак «$+$»). * При $x \in (-3; 0)$ (например, при $x = -1$): $-1 \cdot (-1 + 3) = -2 < 0$ (знак «$- $»). * При $x \in (-\infty; -3)$ (например, при $x = -4$): $-4 \cdot (-4 + 3) = 4 > 0$ (знак «$+$»). Нам требуется определить, где выражение меньше нуля ($< 0$). Множество решений неравенства: $$ x \in (-3; 0) $$ --- ### 2. Решение неравенства $\frac{x}{x + 3} < 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$. Найдем нули числителя и знаменателя: * Числитель: $x = 0$; * Знаменатель: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Отметим точки $-3$ и $0$ на числовой прямой выколотыми точками. Они делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$. Так как знак частного $\frac{x}{x + 3}$ совпадает со знаком произведения $x(x + 3)$ при $x \neq -3$: * На интервале $(0; +\infty)$ выражение принимает положительные значения ($+$). * На интервале $(-3; 0)$ выражение принимает отрицательные значения ($-$). * На интервале $(-\infty; -3)$ выражение принимает положительные значения ($+$). Неравенство выполняется там, где дробь строго меньше нуля. Множество решений неравенства: $$ x \in (-3; 0) $$ --- ### Вывод о равносильности Так как множества решений обоих неравенств совпадают и представляют собой интервал $(-3; 0)$, неравенства $x(x + 3) < 0$ и $\frac{x}{x + 3} < 0$ являются равносильными. **Ответ:** Множество решений: $x \in (-3; 0)$ (неравенства равносильны).