ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 8 / вариант 1 - 11

**11. (3)** Выясним, равносильны ли уравнения: $$ 18x^2 - x = 3 \quad \text{и} \quad 18x^2 = 3 + x $$ **1. Обоснование с помощью теорем о равносильности** По теореме о равносильности уравнений: если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится уравнение, равносильное исходному. Прибавим к обеим частям первого уравнения выражение $x$, которое определено при всех $x \in \mathbb{R}$: $$ 18x^2 - x + x = 3 + x $$ $$ 18x^2 = 3 + x $$ В результате элементарного преобразования (переноса слагаемого $-x$ из левой части в правую с противоположным знаком) получилось второе уравнение. Следовательно, данные уравнения равносильны. --- **2. Нахождение корней уравнений** Приведем любое из этих уравнений к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $$ 18x^2 - x - 3 = 0 $$ Коэффициенты: $a = 18$, $b = -1$, $c = -3$. Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-3) = 1 + 216 = 217 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{217}}{2 \cdot 18} = \frac{1 \pm \sqrt{217}}{36} $$ Множество решений обоих уравнений совпадает: $$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{217}}{36}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{217}}{36} $$ **Ответ:** уравнения равносильны; их корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{217}}{36}$.