ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратичная функция / вариант 1 - 7

**7.** Дана функция: $$ y = x^2 - 2|x| - 3 $$ Поскольку $x^2 = |x|^2$, функцию можно записать в виде $y = |x|^2 - 2|x| - 3$. **1. Исследование функции:** * **Область определения:** Функция определена при всех действительных значениях переменной: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ * **Чётность функции:** $$ y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| - 3 = x^2 - 2|x| - 3 = y(x) $$ Функция является чётной, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Достаточно построить график для $x \ge 0$, а затем отобразить его симметрично относительно оси $Oy$ для $x < 0$. **2. Построение графика по промежуткам:** * При $x \ge 0$ модуль раскрывается со знаком «плюс» ($|x| = x$): $$ y = x^2 - 2x - 3 $$ Это квадратичная функция, графиком которой является часть параболы с ветвями, направленными вверх ($a = 1 > 0$). Выделим полный квадрат: $$ y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x - 1)^2 - 4 $$ — Координаты вершины: $x_0 = 1$, $y_0 = -4$. Точка $(1; -4)$. — Точка пересечения с осью $Oy$: при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0; -3)$. — Точки пересечения с осью $Ox$: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0 $$ Так как $x \ge 0$, корнем является только $x = 3$. Точка $(3; 0)$. * При $x < 0$ отразим полученную часть графика симметрично относительно оси $Oy$ (или раскроем модуль $|x| = -x$): $$ y = x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4 $$ — Координаты вершины: $(-1; -4)$. — Точка пересечения с осью $Ox$: $(-3; 0)$. **3. Таблица контрольных точек для построения:** | $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | **4. Основные свойства функции (по графику):** * Область значений: $E(y) = [-4; +\infty)$. * Нули функции: $x = -3$ и $x = 3$. * Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-3; 3)$. * Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$. * Точки экстремума: точки минимума: $x = -1$ и $x = 1$, при этом $y_{\min} = -4$; точка локального максимума: $x = 0$, при этом $y_{\max} = -3$.