ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратичная функция / вариант 1 - 6

Построим график функции $y = |x^2 - 2x - 3|$. 1. Рассмотрим вспомогательную квадратичную функцию: $$f(x) = x^2 - 2x - 3$$ Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $a = 1 > 0$. 2. Найдём координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$ $$y_0 = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$ Вершина находится в точке $(1; -4)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$. 3. Найдём нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 3$$ Точки пересечения с осью $Ox$: $(-1; 0)$ и $(3; 0)$. 4. Найдём точку пересечения с осью $Oy$: $$f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 \implies (0; -3)$$ Симметричная ей относительно прямой $x = 1$ точка: $(2; -3)$. 5. Построение графика $y = |f(x)|$: По определению модуля: $$y = |x^2 - 2x - 3| = \begin{cases} x^2 - 2x - 3, & \text{если } x \le -1 \text{ или } x \ge 3 \\ -(x^2 - 2x - 3), & \text{если } -1 < x < 3 \end{cases}$$ Таким образом: * части параболы, лежащие выше оси $Ox$ или на ней ($x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$), сохраняются без изменений; * часть параболы, лежащая ниже оси $Ox$ ($x \in (-1; 3)$), симметрично отображается относительно оси $Ox$ в верхнюю полуплоскость. При этом вершина $(1; -4)$ переходит в точку $(1; 4)$, а точки $(0; -3)$ и $(2; -3)$ — в точки $(0; 3)$ и $(2; 3)$ соответственно. 6. Составим таблицу контрольных точек для построения итогового графика: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $0$ | $5$ | **Свойства графика:** * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. * Нули функции: $x = -1$ и $x = 3$. * График имеет форму двух ветвей параболы, уходящих вверх при $x \le -1$ и $x \ge 3$, соединённых перевёрнутой параболической аркой с вершиной в точке $(1; 4)$ на отрезке $[-1; 3]$, с изломами в точках $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.