ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 1 - 49

49. Решим уравнение относительно переменной $x$ для каждого допустимого значения параметра $a$: $$ x^{-4} + 1 = a $$ Область допустимых значений переменной: $x \neq 0$. Перенесем слагаемое $1$ в правую часть уравнения и запишем степень с отрицательным показателем в виде дроби: $$ \frac{1}{x^4} = a - 1 $$ Так как для любого $x \neq 0$ выполняется неравенство $x^4 > 0$, то левая часть уравнения строго положительна: $\frac{1}{x^4} > 0$. Исследуем уравнение в зависимости от значений параметра $a$: 1) Если $a - 1 \le 0$, то есть $a \le 1$, то правая часть уравнения неположительна, а левая строго положительна. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. 2) Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, то обе части уравнения положительны: $$ x^4 = \frac{1}{a - 1} $$ Извлекая корень четной степени, получаем два действительных корня: $$ x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{a - 1}} = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{a - 1}} $$ Так как $a > 1$, найденные значения $x$ определены и отличны от нуля, то есть удовлетворяют области допустимых значений. Ответ: при $a \le 1$ корней нет; при $a > 1$ $x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{a - 1}}$.