ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 1 - 52

52. Построить график функции $y = \sqrt[3]{|x| + 1}$. **1. Исследование свойств функции для построения:** * **Область определения:** Подкоренное выражение имеет смысл при любых действительных значениях $x$, так как показатель корня нечётный. $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ * **Чётность функции:** $$y(-x) = \sqrt[3]{|-x| + 1} = \sqrt[3]{|x| + 1} = y(x)$$ Функция является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Достаточно построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси $Oy$ для $x < 0$. * **Область значений:** Так как $|x| \ge 0$, то $|x| + 1 \ge 1$, откуда $\sqrt[3]{|x| + 1} \ge 1$. $$E(y) = [1; +\infty)$$ Наименьшее значение функции равно $1$ и достигается в точке $x = 0$. * **Поведение функции:** При $x \ge 0$ функция принимает вид $y = \sqrt[3]{x + 1}$ и является монотонно возрастающей. При $x \le 0$ функция монотонно убывает. Точка $(0; 1)$ является точкой минимума (точкой излома графика). --- **2. Таблица контрольных точек:** Для построения правой ветви ($x \ge 0$): | $x$ | $0$ | $1$ | $7$ | $26$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ | $2$ | $3$ | В силу чётности функции находим симметричные точки левой ветви ($x < 0$): | $x$ | $-1$ | $-7$ | $-26$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26$ | $2$ | $3$ | --- **3. Схема построения графика:** 1. Отмечаем точку минимума $(0; 1)$ на оси $Oy$. 2. В правой полуплоскости ($x \ge 0$) проводим плавную кривую $y = \sqrt[3]{x + 1}$, проходящую через точки $(0; 1)$, $(1; \approx 1{,}26)$, $(7; 2)$. Ветвь направлена вправо-вверх, постепенно замедляя свой рост. 3. Отображаем полученную кривую симметрично относительно оси ординат $Oy$ в левую полуплоскость ($x \le 0$), проводя её через точки $(-1; \approx 1{,}26)$, $(-7; 2)$. График представляет собой кривую с изломом в точке $(0; 1)$, ветви которой симметрично расходятся влево и вправо вверх.