ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / задание для интересующихся математикой - 6

Представим число $a = 112^3 + 73$ в виде: $$ a = (112^3 - 1) + (1 + 73) = (112^3 - 1) + 74 $$ Разложим первое слагаемое $(112^3 - 1)$ по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$: $$ 112^3 - 1^3 = (112 - 1)(112^2 + 112 \cdot 1 + 1^2) = 111 \cdot (112^2 + 112 + 1) $$ Заметим, что число $111$ делится на 37, так как $111 = 37 \cdot 3$. Следовательно: $$ 112^3 - 1 = 37 \cdot 3 \cdot (112^2 + 112 + 1) $$ Обозначим целое число $3 \cdot (112^2 + 112 + 1)$ через $k$. Тогда: $$ 112^3 - 1 = 37k $$ Второе слагаемое равно 74, и оно также делится на 37: $$ 74 = 37 \cdot 2 $$ Подставим полученные выражения в исходное число $a$: $$ a = 37k + 37 \cdot 2 = 37(k + 2) $$ Так как $k$ — целое число, то $(k + 2)$ также является целым числом. Значит, число $a$ представлено в виде произведения числа 37 и некоторого целого числа, то есть $a$ делится на 37. Что и требовалось доказать.