ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / задание для интересующихся математикой - 4

а) Докажем равенство: $$ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4 $$ Преобразуем выражения под знаками кубических корней, выделив куб двучлена вида $(a \pm b\sqrt{2})^3$. Применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Рассмотрим выражение $(2 + \sqrt{2})^3$: $$ (2 + \sqrt{2})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = 8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2} = 20 + 14\sqrt{2} $$ Аналогично по формуле куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ рассмотрим $(2 - \sqrt{2})^3$: $$ (2 - \sqrt{2})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3 = 8 - 12\sqrt{2} + 12 - 2\sqrt{2} = 20 - 14\sqrt{2} $$ Подставим полученные равенства в левую часть исходного выражения: $$ \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(2 - \sqrt{2})^3} = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4 $$ Получили $4 = 4$. Равенство доказано. --- б) Докажем равенство: $$ \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = 2 $$ Преобразуем выражения под знаками кубических корней, выделив куб двучлена вида $(1 \pm \sqrt{2})^3$. Рассмотрим выражение $(1 + \sqrt{2})^3$: $$ (1 + \sqrt{2})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 6 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2} $$ Рассмотрим выражение $(1 - \sqrt{2})^3$: $$ (1 - \sqrt{2})^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3 = 1 - 3\sqrt{2} + 6 - 2\sqrt{2} = 7 - 5\sqrt{2} $$ Подставим полученные равенства в левую часть исходного выражения: $$ \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^3} = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2 $$ Получили $2 = 2$. Равенство доказано.