ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / задание для интересующихся математикой - 3

а) Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби: $$ \frac{1}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} $$ Пусть $x = \sqrt[3]{3}$, тогда $x^3 = 3$, а знаменатель имеет вид $1 + x - x^2$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $(x - 1) = (\sqrt[3]{3} - 1)$: $$ (1 + x - x^2)(x - 1) = x - 1 + x^2 - x - x^3 + x^2 = 2x^2 - x^3 - 1 $$ Подставим $x^3 = 3$: $$ 2x^2 - 3 - 1 = 2x^2 - 4 = 2(x^2 - 2) = 2(\sqrt[3]{9} - 2) $$ Дробь принимает вид: $$ \frac{\sqrt[3]{3} - 1}{2(\sqrt[3]{9} - 2)} $$ Чтобы избавиться от корня в знаменателе, применим формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы для чисел $\sqrt[3]{9}$ и $2$, то есть на $((\sqrt[3]{9})^2 + 2\sqrt[3]{9} + 2^2) = (\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4)$: $$ \frac{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4)}{2(\sqrt[3]{9} - 2)(\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4)} = \frac{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4)}{2((\sqrt[3]{9})^3 - 2^3)} $$ Так как $(\sqrt[3]{9})^3 - 2^3 = 9 - 8 = 1$, в знаменателе получаем: $$ 2 \cdot 1 = 2 $$ Таким образом, выражение преобразуется к виду: $$ \frac{\sqrt[3]{3} - 1}{2}\left(\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4\right) $$ Упростим числитель, учитывая, что $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}$: $$ (\sqrt[3]{3} - 1)(3\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} + 4) = 3\sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{27} + 4\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} - 4 $$ $$ = 3\sqrt[3]{9} + 6 + 4\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} - 4 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 2 $$ Значит: $$ \frac{1}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} = \frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2} $$ Если в условии задано произведение: $$ \frac{1}{1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{9}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} \left( \sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4 \right) $$ то, подставляя найденное значение первой дроби, получаем: $$ \frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2} \cdot \frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2} = \frac{(2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})^2}{4} $$ Ответ к пункту а: $\frac{2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}{2}$ (или $\frac{\sqrt[3]{3} - 1}{2} \left( \sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{9} + 4 \right)$). --- б) Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} $$ Заметим, что знаменатель представляет собой неполный квадрат разности: $$ \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 $$ Воспользуемся формулой суммы кубов: $$ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на $(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})$: $$ \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}{(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}{3 + 2} = \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}{5} $$ Если требуется освободиться от иррациональности в знаменателе всего выражения, представленного в виде произведения: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} \cdot \frac{7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3}{23} $$ то подставим полученное значение первой дроби: $$ \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}{5} \cdot \frac{7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3}{23} = \frac{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3)}{115} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3) = \sqrt[3]{3}(7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3) + \sqrt[3]{2}(7\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - 3) $$ $$ = 7\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{12} - 3\sqrt[3]{3} + 7\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{2} $$ Учитывая, что $\sqrt[3]{8} = 2$: $$ = 7\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{12} + 7\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{2} - 2 $$ Итоговое выражение с рациональным знаменателем: $$ \frac{7\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{12} + 7\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{2} - 2}{115} $$ Ответ к пункту б: $\frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}{5}$ (для произведения: $\frac{7\sqrt[3]{6} - \sqrt[3]{12} + 7\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{2} - 2}{115}$).