ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 19

При каких значениях $a$ верно равенство: $$ \sqrt[7]{(1-a)^{-5}} = (1-a)^{-\frac{5}{7}} $$ **Решение:** По определению степени с отрицательным рациональным показателем выражение $x^r$, где $r = \frac{m}{n}$ ($m \in \mathbb{Z}, m < 0$, $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), имеет смысл только при положительном основании: $$ x > 0 $$ В правой части равенства основанием степени является выражение $(1 - a)$, а показателем — отрицательное дробное число $-\frac{5}{7}$. Следовательно, правая часть определена тогда и только тогда, когда: $$ 1 - a > 0 $$ $$ -a > -1 \implies a < 1 $$ Левая часть представляет собой корень нечётной седьмой степени $\sqrt[7]{(1-a)^{-5}}$, который имеет смысл при всех $1 - a \neq 0$ (то есть при $a \neq 1$). Однако само равенство между корнем и степенью с рациональным показателем определено и справедливо только на области определения степени с дробным показателем, то есть при положительном основании $1 - a > 0$. Таким образом, равенство верно при всех $a < 1$. **Ответ:** $$ a < 1 \quad \text{(или } a \in (-\infty; 1)\text{)} $$