ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 2 - 18

**18. (5)** Выясним, при каких значениях $a$ справедливо равенство: $$ \sqrt[5]{(3 + a)^3} = (3 + a)^{\frac{3}{5}} $$ 1. Левая часть равенства содержит корень пятой степени $\sqrt[5]{(3 + a)^3}$. Так как показатель корня является нечётным числом ($n = 5$), данный корень определён при любых действительных значениях подкоренного выражения: $$ a \in (-\infty; +\infty) $$ 2. Правая часть равенства представляет собой степень с положительным дробным показателем: $$ (3 + a)^{\frac{3}{5}} $$ По определению степени с рациональным показателем $\frac{m}{n}$ ($m \in \mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$), выражение $x^{\frac{m}{n}}$ имеет смысл только при неотрицательном основании, то есть при $x \ge 0$. Следовательно, правая часть определена тогда и только тогда, когда: $$ 3 + a \ge 0 $$ $$ a \ge -3 $$ 3. При $a \ge -3$ основание $3 + a \ge 0$, поэтому по определению степени с дробным показателем выполняется тождество $\sqrt[5]{(3 + a)^3} = (3 + a)^{\frac{3}{5}}$. При $a < -3$ правая часть не имеет смысла в области действительных чисел, а значит, равенство не выполняется. Таким образом, равенство справедливо при всех $a \ge -3$. **Ответ:** $a \ge -3$ (или $a \in [-3; +\infty)$).