ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 4 / вариант 2 - 42

Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби сгруппируем слагаемые в знаменателе и применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Представим знаменатель в виде $((\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{7})$ и умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение $((\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{7})$: $$ \frac{14\sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} = \frac{14\sqrt{5}((\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{7})}{((\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{7})((\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{7})} $$ Преобразуем знаменатель: $$ ((\sqrt{2} + \sqrt{5}) - \sqrt{7})((\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{7}) = (\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 $$ Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 - 7 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 - 7 = 2\sqrt{10} $$ Подставим полученный результат в дробь: $$ \frac{14\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}{2\sqrt{10}} $$ Сократим дробь на 2: $$ \frac{7\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}{\sqrt{10}} $$ Учитывая, что $\sqrt{10} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5}$, сократим дробь на $\sqrt{5}$: $$ \frac{7(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})}{\sqrt{2}} $$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы окончательно избавиться от иррациональности в знаменателе: $$ \frac{7(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{7(2 + \sqrt{10} + \sqrt{14})}{2} = \frac{14 + 7\sqrt{10} + 7\sqrt{14}}{2} $$ Ответ: $\frac{7(2 + \sqrt{10} + \sqrt{14})}{2}$ (или $\frac{14 + 7\sqrt{10} + 7\sqrt{14}}{2}$).