ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 2 - 12

12. Пусть всё поле принимается за единицу ($1$). Обозначим через $x$ количество дней, за которое может вспахать всё поле первый трактор, работая отдельно ($x > 0$). Так как первый трактор вспахивает поле на 5 дней быстрее второго, то второму трактору потребуется $(x + 5)$ дней. Тогда: * $\frac{1}{x}$ поля в день — производительность первого трактора; * $\frac{1}{x + 5}$ поля в день — производительность второго трактора; * $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right)$ поля в день — совместная производительность двух тракторов. По условию задачи, работая вместе в течение 4 дней, тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Составим уравнение: $$ 4 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right) = \frac{2}{3} $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ 2 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right) = \frac{1}{3} $$ Приведём дроби в скобках к общему знаменателю: $$ 2 \cdot \frac{x + 5 + x}{x(x + 5)} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{2(2x + 5)}{x^2 + 5x} = \frac{1}{3} $$ $$ \frac{4x + 10}{x^2 + 5x} = \frac{1}{3} $$ Используя основное свойство пропорции при $x > 0$: $$ x^2 + 5x = 3(4x + 10) $$ $$ x^2 + 5x = 12x + 30 $$ $$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет смыслу задачи, так как время работы не может быть отрицательным числом. Следовательно, $x = 10$ (дней) — время, необходимое первому трактору. Найдём время работы второго трактора: $$ x + 5 = 10 + 5 = 15\text{ (дней)}. $$ Ответ: за 10 дней первым трактором; за 15 дней вторым трактором.