ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 1 - 7

Упростим выражение по действиям: 1. Выполним вычитание дробей в скобках: $$ \frac{81}{2a^2 + 7a - 30} - \frac{a + 6}{2a - 5} $$ Разложим на множители знаменатель первой дроби $2a^2 + 7a - 30$. Найдем корни квадратного трехчлена: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289 = 17^2 $$ $$ a_1 = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{5}{2}, \quad a_2 = \frac{-7 - 17}{4} = -6 $$ Тогда: $$ 2a^2 + 7a - 30 = 2\left(a - \frac{5}{2}\right)(a + 6) = (2a - 5)(a + 6) $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(2a - 5)(a + 6)$: $$ \frac{81}{(2a - 5)(a + 6)} - \frac{a + 6}{2a - 5} = \frac{81 - (a + 6)^2}{(2a - 5)(a + 6)} $$ Преобразуем числитель: $$ 81 - (a^2 + 12a + 36) = 45 - 12a - a^2 = -(a^2 + 12a - 45) $$ Разложим квадратный трехчлен $a^2 + 12a - 45$ на множители по теореме Виета: корни равны $3$ и $-15$, значит: $$ -(a^2 + 12a - 45) = -(a - 3)(a + 15) $$ Таким образом, результат действия в скобках: $$ \frac{-(a - 3)(a + 15)}{(2a - 5)(a + 6)} $$ 2. Выполним деление: $$ \frac{a^2 + 19a + 60}{a + 6} : \frac{-(a - 3)(a + 15)}{(2a - 5)(a + 6)} $$ Разложим числитель первой дроби на множители: $$ a^2 + 19a + 60 = (a + 4)(a + 15) $$ Заменим деление умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{(a + 4)(a + 15)}{a + 6} \cdot \left(-\frac{(2a - 5)(a + 6)}{(a - 3)(a + 15)}\right) $$ Сократим общие множители $(a + 6)$ и $(a + 15)$: $$ -\frac{(a + 4)(2a - 5)}{a - 3} $$ 3. Выполним вычитание: $$ \frac{11 - 2a^2}{a - 3} - \left(-\frac{(a + 4)(2a - 5)}{a - 3}\right) = \frac{11 - 2a^2 + (a + 4)(2a - 5)}{a - 3} $$ Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $$ (a + 4)(2a - 5) = 2a^2 - 5a + 8a - 20 = 2a^2 + 3a - 20 $$ $$ \frac{11 - 2a^2 + 2a^2 + 3a - 20}{a - 3} = \frac{3a - 9}{a - 3} $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе и сократим дробь на $(a - 3)$: $$ \frac{3(a - 3)}{a - 3} = 3 $$ Ответ: 3