ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / квадратные уравнения / вариант 1 - 8

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = 1. \end{cases} $$ Выразим переменную $y$ через $x$ из второго уравнения: $$ y = 1 - x $$ Подставим полученное выражение вместо $y$ в первое уравнение системы: $$ x^2 + (1 - x)^2 = 5 $$ Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности: $$ x^2 + 1 - 2x + x^2 = 5 $$ Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть: $$ 2x^2 - 2x + 1 - 5 = 0 $$ $$ 2x^2 - 2x - 4 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 $$ Теперь найдём соответствующие значения $y$, используя равенство $y = 1 - x$: Для $x_1 = 2$: $$ y_1 = 1 - 2 = -1 $$ Для $x_2 = -1$: $$ y_2 = 1 - (-1) = 2 $$ Таким образом, система имеет два решения: пары чисел $(2; -1)$ и $(-1; 2)$. Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$.