ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 283

Логарифмическое выражение $\log_a f(x)$ при постоянном основании $a > 0$, $a \neq 1$ имеет смысл тогда и только тогда, когда выражение под знаком логарифма строго больше нуля: $f(x) > 0$. **1)** $\log_6 (49 - x^2)$ Основание логарифма $6 > 0$ и $6 \neq 1$. Выражение имеет смысл при условии: $$ 49 - x^2 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, меняя знак неравенства: $$ x^2 - 49 < 0 $$ $$ (x - 7)(x + 7) < 0 $$ Корни уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$: $x_1 = -7$, $x_2 = 7$. Применяя метод интервалов, получаем: $$ -7 < x < 7 $$ **Ответ:** $x \in (-7; 7)$. --- **2)** $\log_7 (x^2 + x - 6)$ Основание логарифма $7 > 0$ и $7 \neq 1$. Выражение имеет смысл при условии: $$ x^2 + x - 6 > 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $$ $$ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (x + 3)(x - 2) > 0 $$ По методу интервалов решением неравенства являются промежутки: $$ x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. --- **3)** $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 2x + 7)$ Основание логарифма $\frac{1}{5} > 0$ и $\frac{1}{5} \neq 1$. Выражение имеет смысл при условии: $$ x^2 + 2x + 7 > 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 7$: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 $$ Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$ (ветви параболы направлены вверх), а дискриминант $D < 0$ (парабола не пересекает ось абсцисс), то трехчлен $x^2 + 2x + 7$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях переменной $x$. Следовательно, неравенство верно для любого $x \in \mathbb{R}$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$.