ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 284

**1)** $\log_{3} (1 - x^{3})$ Логарифмическое выражение определено, если выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно: $$ 1 - x^{3} > 0 $$ $$ x^{3} < 1 $$ Так как функция $y = x^3$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, получаем: $$ x < 1 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 1)$. --- **2)** $\log_{2} (x^{3} + 8)$ Логарифмическое выражение определено, если подлогарифмическое выражение строго больше нуля: $$ x^{3} + 8 > 0 $$ $$ x^{3} > -8 $$ Так как $(-2)^3 = -8$, а функция $y = x^3$ строго возрастает: $$ x > -2 $$ Ответ: $x \in (-2; +\infty)$. --- **3)** $\log_{\frac{1}{3}} (x^{3} + x^{2} - 6x)$ Область определения задается неравенством: $$ x^{3} + x^{2} - 6x > 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^{2} + x - 6) > 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^{2} + x - 6$ на множители. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6 \implies x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Неравенство принимает вид: $$ x(x + 3)(x - 2) > 0 $$ Применим метод интервалов. Отметим нули выражения на координатной прямой: $x = -3$, $x = 0$, $x = 2$. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Определим знаки выражения $P(x) = x(x + 3)(x - 2)$ на полученных интервалах: - при $x \in (2; +\infty)$ значение выражения положительно ($+$); - при $x \in (0; 2)$ значение выражения отрицательно ($-$) (например, при $x = 1$: $1 \cdot 4 \cdot (-1) = -4 < 0$); - при $x \in (-3; 0)$ значение выражения положительно ($+$) (например, при $x = -1$: $(-1) \cdot 2 \cdot (-3) = 6 > 0$); - при $x \in (-\infty; -3)$ значение выражения отрицательно ($-$). Выбираем промежутки со знаком «$+$»: $$ x \in (-3; 0) \cup (2; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (2; +\infty)$. --- **4)** $\log_{\frac{1}{3}} (x^{3} + x^{2} - 2x)$ Область определения задается неравенством: $$ x^{3} + x^{2} - 2x > 0 $$ Вынесем множитель $x$ за скобки: $$ x(x^{2} + x - 2) > 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^{2} + x - 2$ на множители. Корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -2 \implies x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Неравенство принимает вид: $$ x(x + 2)(x - 1) > 0 $$ Решим неравенство методом интервалов. Отметим нули выражения: $x = -2$, $x = 0$, $x = 1$. Определим знаки выражения $Q(x) = x(x + 2)(x - 1)$ на интервалах: - при $x \in (1; +\infty)$ знак «$+$»; - при $x \in (0; 1)$ знак «$-$» (например, при $x = 0{,}5$: $0{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot (-0{,}5) < 0$); - при $x \in (-2; 0)$ знак «$+$» (например, при $x = -1$: $(-1) \cdot 1 \cdot (-2) = 2 > 0$); - при $x \in (-\infty; -2)$ знак «$-$». Выбираем интервалы, на которых выражение больше нуля: $$ x \in (-2; 0) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (1; +\infty)$.