ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 280

При вычислении выражений используются основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$) и свойства степеней. ### 1) $9^{2 \log_3 5}$ Представим основание степени $9$ как $3^2$: $$ 9^{2 \log_3 5} = (3^2)^{2 \log_3 5} = 3^{2 \cdot 2 \log_3 5} = 3^{4 \log_3 5} $$ По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и основному логарифмическому тождеству: $$ 3^{4 \log_3 5} = \left(3^{\log_3 5}\right)^4 = 5^4 = 625 $$ **Ответ:** $625$ --- ### 2) $\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2} \log_3 4}$ Представим основание $\frac{1}{9}$ в виде степени числа $3$: $\frac{1}{9} = 3^{-2}$. $$ \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2} \log_3 4} = (3^{-2})^{\frac{1}{2} \log_3 4} = 3^{-2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 4} = 3^{-\log_3 4} $$ Преобразуем показатель степени: $$ 3^{-\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^{-1} = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ **Ответ:** $\frac{1}{4}$ (или $0{,}25$) --- ### 3) $\left(\frac{1}{4}\right)^{-5 \log_2 3}$ Представим дробь $\frac{1}{4}$ как степень с основанием $2$: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$. $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{-5 \log_2 3} = (2^{-2})^{-5 \log_2 3} = 2^{(-2) \cdot (-5) \log_2 3} = 2^{10 \log_2 3} $$ Применим основное логарифмическое тождество: $$ 2^{10 \log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^{10} = 3^{10} = 59\,049 $$ **Ответ:** $59\,049$ --- ### 4) $27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5}$ Перейдём в основании логарифма к числу $3$, учитывая, что $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = -\log_3 5$: $$ -4 \log_{\frac{1}{3}} 5 = -4 \cdot (-\log_3 5) = 4 \log_3 5 $$ Представим основание $27$ как $3^3$: $$ 27^{-4 \log_{\frac{1}{3}} 5} = 27^{4 \log_3 5} = (3^3)^{4 \log_3 5} = 3^{3 \cdot 4 \log_3 5} = 3^{12 \log_3 5} $$ Применим тождество: $$ 3^{12 \log_3 5} = \left(3^{\log_3 5}\right)^{12} = 5^{12} = 244\,140\,625 $$ **Ответ:** $5^{12}$ ($244\,140\,625$) --- ### 5) $10^{3 - \log_{10} 5}$ Используем свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $a^{m - n} = \frac{a^m}{a^n}$: $$ 10^{3 - \log_{10} 5} = \frac{10^3}{10^{\log_{10} 5}} $$ Так как $10^3 = 1000$, а по основному тождеству $10^{\log_{10} 5} = 5$, получаем: $$ \frac{1000}{5} = 200 $$ **Ответ:** $200$ --- ### 6) $\left(\frac{1}{7}\right)^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3}$ Используем свойство произведения степеней $a^{m + n} = a^m \cdot a^n$: $$ \left(\frac{1}{7}\right)^{1 + 2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = \left(\frac{1}{7}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3} $$ Преобразуем второй множитель: $$ \left(\frac{1}{7}\right)^{2 \log_{\frac{1}{7}} 3} = \left(\left(\frac{1}{7}\right)^{\log_{\frac{1}{7}} 3}\right)^2 = 3^2 = 9 $$ Вычислим общее произведение: $$ \frac{1}{7} \cdot 9 = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} $$ **Ответ:** $\frac{9}{7}$ (или $1\frac{2}{7}$)