ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 279

**1)** $\log_2 \sqrt[4]{2}$ Представим корень в виде степени с дробным показателем: $$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$$ Используя свойство логарифма $\log_a a^c = c$, получаем: $$\log_2 \sqrt[4]{2} = \log_2 2^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} = 0,25$$ **2)** $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$ Представим выражение под знаком логарифма в виде степени с основанием $3$: $$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$ $$\frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = 3^{-\frac{3}{2}}$$ Тогда: $$\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} = \log_3 3^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2} = -1,5$$ **3)** $\log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}}$ Представим основание логарифма и подлогарифмическое выражение в виде степеней числа $2$: $$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$$ $$\frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} = 2^{-\frac{5}{2}}$$ Используя свойство $\log_{a^k} a^m = \frac{m}{k}$, находим: $$\log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}} = \log_{2^{-1}} 2^{-\frac{5}{2}} = \frac{-\frac{5}{2}}{-1} = \frac{5}{2} = 2,5$$ **4)** $\log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$ Представим выражение под знаком логарифма в виде степени с основанием $7$: $$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}, \quad 49 = 7^2$$ $$\frac{\sqrt[3]{7}}{49} = \frac{7^{\frac{1}{3}}}{7^2} = 7^{\frac{1}{3} - 2} = 7^{\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} = 7^{-\frac{5}{3}}$$ Тогда: $$\log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49} = \log_7 7^{-\frac{5}{3}} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$$ **Ответ:** 1) $\frac{1}{4}$ (или $0,25$); 2) $-1,5$ (или $-\frac{3}{2}$); 3) $2,5$ (или $\frac{5}{2}$); 4) $-1\frac{2}{3}$ (или $-\frac{5}{3}$).