Задание 66. Выполните задания. 1) ∠B=60°, AC=8. Найдите A1C1...

Для решения этих задач используется свойство: треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$ (где $AA_1$ и $CC_1$ — высоты). Коэффициент подобия равен $k = \cos \angle B$. Отсюда следует формула: $A_1C_1 = AC \cdot \cos \angle B$. 1) Дано: $\angle B = 60^\circ$, $AC = 8$. $A_1C_1 = 8 \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot 0,5 = 4$. **Ответ: 4.** 2) Дано: $\angle B = 30^\circ$, $A_1C_1 = 6$. $AC = \frac{A_1C_1}{\cos B} = \frac{6}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. **Ответ: 4$\sqrt{3}$.** 3) Дано: $\angle B = 45^\circ$, $AC = 12$. $A_1C_1 = 12 \cdot \cos 45^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$. **Ответ: 6$\sqrt{2}$.** 4) Дано: $A_1C_1 = 12$, $AC = 12\sqrt{2}$. $\cos B = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\angle B = 45^\circ$. **Ответ: 45$^{\circ}$.** 5) Дано: $\angle B = 60^\circ$, $BH = 24$ (отрезок от вершины до ортоцентра). В треугольнике с высотами $BH = 2R \cdot \cos B$, где $R$ — радиус описанной окружности $\triangle ABC$. $24 = 2R \cdot \cos 60^\circ = 2R \cdot 0,5 = R$. $R = 24$. **Ответ: 24.** 6) Дано: $AC_1 = 4, A_1C = 20, BC_1 = 3$. В прямоугольном $\triangle BCC_1$: $\cos B = \frac{BC_1}{BC}$. Из подобия $\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC$: $\frac{BC_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$. Для нахождения $\angle C$ рассмотрим $\triangle AA_1C$ или $\triangle CC_1B$. Информации достаточно, чтобы найти стороны, но простейший путь через подобие требует $AC$, которое здесь не задано напрямую как одна сторона. Однако, если $A_1C$ и $AC_1$ — части сторон, задача сводится к вычислению через тригонометрию в прямоугольных треугольниках, образованных высотами. Примем, что $A_1$ и $C_1$ — основания высот. В $\triangle BCC_1$: $BC = BC_1 + C_1B$, нет, $BC$ — гипотенуза. $\cos B = \frac{BC_1}{BC}$. Из условия неясно положение всех точек, но стандартно для таких задач: $\cos C = \frac{A_1C}{AC}$. Без значения $AC$ или дополнительных связей найти точный угол $\angle C$ затруднительно. Если допустить, что треугольник прямоугольный или равнобедренный, данных не хватает. *Допущение*: Вероятно, в 6 задаче опечатка в условии или требуются дополнительные построения, нетипичные для устного счета.