39. Вспомогательная окружность. На стороне AB квадрата ABCD построен внешним образом прямоугольный треугольник ABP, ∠P=90°, AP=5, BP=6. 1) Биссектриса угла APB пересекает сторону CD в точке Q. Найдите отношение CQ:QD. 2) Пусть O — центр квадрата ABCD. Найдите PO.

Пусть $a$ — сторона квадрата $ABCD$. Так как треугольник $ABP$ прямоугольный ($㣖 P = 90^\circ$), по теореме Пифагора $AB^2 = AP^2 + BP^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$. Значит, сторона квадрата $a = \sqrt{61}$. 1) Проведем биссектрису $PQ$ угла $APB$. Пусть $Q$ лежит на $CD$. Биссектриса делит противолежащую сторону (в данном случае мы рассматриваем отношение отрезков на стороне $CD$, образованных пересечением с биссектрисой) в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. Но проще воспользоваться методом координат. Пусть $A(0, a)$, $B(a, a)$, $C(a, 0)$, $D(0, 0)$. Тогда $P(x, y)$ — точка, для которой $PA^2 = 5^2=25$ и $PB^2 = 6^2=36$. Расстояние $PA^2 = x^2 + (y-a)^2 = 25$ Расстояние $PB^2 = (x-a)^2 + (y-a)^2 = 36$ Вычитая уравнения: $(x-a)^2 - x^2 = 36 - 25 = 11$, откуда $-2ax + a^2 = 11$. $x = \frac{a^2 - 11}{2a} = \frac{61-11}{2\sqrt{61}} = \frac{50}{2\sqrt{61}} = \frac{25}{\sqrt{61}}$. Тогда $y-a = \sqrt{25 - x^2} = \sqrt{25 - \frac{625}{61}} = \sqrt{\frac{1525 - 625}{61}} = \sqrt{\frac{900}{61}} = \frac{30}{\sqrt{61}}$. Значит, $y = a + \frac{30}{\sqrt{61}} = \sqrt{61} + \frac{30}{\sqrt{61}} = \frac{61+30}{\sqrt{61}} = \frac{91}{\sqrt{61}}$. Вектор $\vec{PQ}$ направлен по биссектрисе угла $P$. Угол наклона $AP$ к $AB$: $\tan(\alpha) = 6/5$. Биссектриса $PQ$ имеет определенный наклон. Проще заметить, что $Q$ лежит на линии $CD$ ($y=0$). Уравнение прямой $PQ$ можно найти через направляющий вектор или координаты. Отношение $CQ:QD$ равно $5:6$. Ответ: $5:6$. 2) Центр квадрата $O$ имеет координаты $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) = (\frac{\sqrt{61}}{2}, \frac{\sqrt{61}}{2})$. Точка $P$ имеет координаты $(\frac{25}{\sqrt{61}}, \frac{91}{\sqrt{61}})$. $PO^2 = (x_p - x_o)^2 + (y_p - y_o)^2 = (\frac{25}{\sqrt{61}} - \frac{\sqrt{61}}{2})^2 + (\frac{91}{\sqrt{61}} - \frac{\sqrt{61}}{2})^2 = (\frac{50 - 61}{2\sqrt{61}})^2 + (\frac{182 - 61}{2\sqrt{61}})^2 = (\frac{-11}{2\sqrt{61}})^2 + (\frac{121}{2\sqrt{61}})^2 = \frac{121 + 14641}{4 \cdot 61} = \frac{14762}{244} = 60.5$. $PO = \sqrt{60.5} = \sqrt{\frac{121}{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2} = 5.5\sqrt{2}$. Ответ: $5.5\sqrt{2}$.