Задание 67. Заполните пропуски в таблице.

Для решения задачи используем теоремы о метрических соотношениях в окружности: 1. **Теорема о пересекающихся хордах (строки 1-3):** Произведения отрезков пересекающихся хорд равны: $x \cdot y = p \cdot q$. 2. **Теорема о секущих (строки 4-7):** Произведение всей секущей на её внешнюю часть постоянно: $x \cdot (x + y) = p \cdot (p + q)$. 3. **Теорема о касательной и секущей (строки 8-11):** Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: $k^2 = x \cdot (x + y)$. Заполненная таблица: | № | $x$ | $y$ | $p$ | $q$ | Решение | |---|---|---|---|---|---| | 1) | 3 | **8** | 4 | 6 | $3 \cdot y = 4 \cdot 6 \Rightarrow y = 24 / 3 = 8$ | | 2) | **12,5** | 4 | $5\sqrt{2}$ | $5\sqrt{2}$ | $x \cdot 4 = (5\sqrt{2})^2 \Rightarrow 4x = 50 \Rightarrow x = 12,5$ | | 3) | $3\sqrt{3}$ | 6 | **2** | 9 | $3\sqrt{3} \cdot 6 = p \cdot 9 \Rightarrow 18\sqrt{3} = 9p \Rightarrow p = 2\sqrt{3}$ (Примечание: если в условии опечатка и $x=3$, то $p=2$) | | 4) | 5 | **3** | 4 | 6 | $5(5+y) = 4(4+6) \Rightarrow 25+5y = 40 \Rightarrow 5y=15 \Rightarrow y=3$ | | 5) | 4 | 8 | **6** | 2 | $4(4+8) = p(p+2) \Rightarrow 48 = p^2+2p \Rightarrow p^2+2p-48=0 \Rightarrow p=6$ | | 6) | 6 | **11,5** | 7 | 8 | $6(6+y) = 7(7+8) \Rightarrow 36+6y = 105 \Rightarrow 6y=69 \Rightarrow y=11,5$ | | 7) | 8 | 7 | **6** | 14 | $8(8+7) = p(p+14) \Rightarrow 120 = p^2+14p \Rightarrow p^2+14p-120=0 \Rightarrow p=6$ | | № | $k$ | $x$ | $y$ | Решение | |---|---|---|---|---| | 8) | **6** | 4 | 5 | $k^2 = 4(4+5) = 36 \Rightarrow k = 6$ | | 9) | **5** | 1 | 24 | $k^2 = 1(1+24) = 25 \Rightarrow k = 5$ | | 10) | 12 | 3 | **45** | $12^2 = 3(3+y) \Rightarrow 144 = 9 + 3y \Rightarrow 135 = 3y \Rightarrow y = 45$ | | 11) | 12 | **6** | 18 | $144 = x(x+18) \Rightarrow x^2+18x-144=0 \Rightarrow x = 6$ |