Задание 68. Определите, какие четвёрки точек лежат на одной окружности.

Для решения задачи используем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд: четыре точки лежат на одной окружности, если произведения отрезков пересекающихся прямых, на которых они лежат, равны. В данном случае точка пересечения — $O$. 1) $B, M, C, N$. Проверим: $OB \cdot OM = 6 \cdot 9 = 54$; $OC \cdot ON = 6 \cdot 4 = 24$. $54 \neq 24$. **Нет**. 2) $C, D, L, N$. Точки $C, D$ и $L, N$ лежат на разных лучах от точки $O$. Проверим: $OC \cdot OD = 6 \cdot (6+6) = 72$; $ON \cdot OL = 4 \cdot (4+4) = 32$. $72 \neq 32$. **Нет**. 3) $B, M, L, D$. Проверим: $OB \cdot OM = 6 \cdot 9 = 54$; $OL \cdot OD = (4+4) \cdot (6+6) = 8 \cdot 12 = 96$. $54 \neq 96$. **Нет**. 4) $K, A, N, B$. Проверим: $OK \cdot ON = (4+4) \cdot 4 = 32$; $OA \cdot OB = (6+3) \cdot 6 = 54$. $32 \neq 54$. **Нет**. 5) $A, L, N, B$. Проверим: $OA \cdot OB = 9 \cdot 6 = 54$; $OL \cdot ON = 8 \cdot 4 = 32$. $54 \neq 32$. **Нет**. 6) $N, C, K, D$. Проверим: $ON \cdot OK = 4 \cdot (4+4) = 32$; $OC \cdot OD = 6 \cdot (6+6) = 72$. $32 \neq 72$. **Нет**. 7) $B, D, K, M$. Проверим: $OB \cdot OD = 6 \cdot 12 = 72$; $OK \cdot OM = 8 \cdot 9 = 72$. $72 = 72$. **Да**. 8) $M, A, D, L$. Проверим: $OM \cdot OA = 9 \cdot 9 = 81$; $OD \cdot OL = 12 \cdot 8 = 96$. $81 \neq 96$. **Нет**. **Ответ:** Только четвёрка точек $B, D, K, M$ лежит на одной окружности.