1) $r_1=6, CD=2$. Найдите $r_2$. 2) $r_1=4, r_2=9$. Найдите $MN$. 3) $r=15, CO=39$. Найдите $MN$.

1) **Найдите $r_2$** Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные центрами окружностей $O_1$, $O_2$ и точками касания на одной из сторон угла $C$. Эти треугольники подобны по общему углу $C$. 1. Из подобия: $\frac{r_1}{CO_1} = \frac{r_2}{CO_2}$ 2. По рисунку: $CO_1 = CD + r_1 = 2 + 6 = 8$ 3. $CO_2 = CO_1 + r_1 + r_2 = 8 + 6 + r_2 = 14 + r_2$ 4. Составим пропорцию: $\frac{6}{8} = \frac{r_2}{14 + r_2} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{r_2}{14 + r_2}$ 5. $3(14 + r_2) = 4r_2 \Rightarrow 42 + 3r_2 = 4r_2 \Rightarrow r_2 = 42$ **Ответ:** 42 2) **Найдите $MN$** $MN$ — это общая касательная, проходящая через точку касания окружностей $T$. Отрезок $MT$ является касательной к обеим окружностям из точки $M$, а $TN$ — из точки $N$. 1. В прямоугольной трапеции, образованной радиусами к внешней касательной, длина отрезка внешней касательной $l = \sqrt{(r_1+r_2)^2 - (r_2-r_1)^2} = \sqrt{4r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_2}$. 2. Отрезок $MT$ (половина $MN$) равен радиусу вписанной окружности в треугольник, образованный касательными, или вычисляется через подобие. В данной конфигурации $MN$ — это хорда большой окружности, перпендикулярная линии центров. 3. Для такой конструкции $MT = TN = \sqrt{r_1 \cdot r_2}$ (как высота в прямоугольном треугольнике, образованном радиусами и точкой касания). 4. $MT = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ 5. $MN = 2 \cdot MT = 2 \cdot 6 = 12$ **Ответ:** 12 3) **Найдите $MN$** 1. В прямоугольном треугольнике $MCO$ (где $M$ — точка касания): $OM = r = 15$, $CO = 39$. 2. Найдем $CM$ по теореме Пифагора: $CM = \sqrt{CO^2 - OM^2} = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296} = 36$. 3. $MT$ — высота в прямоугольном треугольнике $MCO$, опущенная на гипотенузу $CO$. 4. $MT = \frac{CM \cdot MO}{CO} = \frac{36 \cdot 15}{39} = \frac{36 \cdot 5}{13} = \frac{180}{13}$. 5. $MN = 2 \cdot MT = 2 \cdot \frac{180}{13} = \frac{360}{13} \approx 27,69$. **Ответ:** $\frac{360}{13}$