Найти радиус окружности, если хорда AB = 14, а угол между ней и диаметром, проходящим через B, равен 45 градусов.

Пусть $R$ — радиус окружности. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OK$ к хорде $AB$. 1. Так как $OK \perp AB$, то $OK$ делит хорду $AB$ пополам. Значит, $AK = KB = 14 / 2 = 7$. 2. Рассмотрим треугольник $OKB$. Он прямоугольный, так как $OK$ — перпендикуляр. Угол $KBO = 45^\circ$ (по условию). 3. Так как сумма углов в треугольнике $180^\circ$, угол $KOB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. 4. В треугольнике $OKB$ два угла равны $45^\circ$, значит, он равнобедренный. Отсюда $OK = KB = 7$. 5. Гипотенуза $OB$ — это радиус $R$. По теореме Пифагора для $\triangle OKB$: $R^2 = OK^2 + KB^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$. $R = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9{,}9$. *Примечание: Если по программе 7 класса нельзя использовать корни, то ответом будет «квадрат радиуса равен 98», так как точное значение радиуса выражается иррациональным числом.* Ответ: радиус равен $\sqrt{98}$ или $7\sqrt{2}$.