965. Докажите, что значение выражения: а) 83^4 + 65 кратно 81; б) 141^10 + 88 кратно 139.

Question

Вопрос:

965. Докажите, что значение выражения: а) 83^4 + 65 кратно 81; б) 141^10 + 88 кратно 139.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

а) Докажем, что $83^4 + 65$ кратно 81. Используем сравнения по модулю 81: $83 \equiv 2 \pmod{81}$ Тогда $83^4 \equiv 2^4 = 16 \pmod{81}$ Значит, $83^4 + 65 \equiv 16 + 65 = 81 \equiv 0 \pmod{81}$. Сумма $83^4 + 65$ делится на 81 нацело. Что и требовалось доказать. б) Докажем, что $141^{10} + 88$ кратно 139. Используем сравнения по модулю 139: $141 \equiv 2 \pmod{139}$ Тогда $141^{10} \equiv 2^{10} = 1024 \pmod{139}$. Теперь разделим 1024 на 139: $1024 = 139 \cdot 7 + 51$ $1024 = 973 + 51$ Значит, $141^{10} \equiv 51 \pmod{139}$. Тогда $141^{10} + 88 \equiv 51 + 88 = 139 \equiv 0 \pmod{139}$. Сумма $141^{10} + 88$ делится на 139 нацело. Что и требовалось доказать.

965. Докажите, что значение выражения: а) 83^4 + 65 кратно 81; б) 141^10 + 88 кратно 139.

Ответ ассистента

Другие решения