На рисунке 115 AB = BC = CD = = DA. 1) Докажите, что AB || CD, AD || BC.

Дано: ABCD — ромб ($AB=BC=CD=DA$). Точка T лежит на диагонали AC. 1) Доказательство: По определению ромба, его противоположные стороны параллельны. Так как ABCD — ромб, то стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). 2) Доказательство: Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Они равны по трем сторонам ($AB=AD$, $BC=DC$, $AC$ — общая). Тогда $\angle BAC = \angle DAC$. Рассмотрим $\triangle ABT$ и $\triangle ADT$. У них $AB=AD$, сторона $AT$ — общая, $\angle BAT = \angle DAT$ (как части равных углов). Значит, $\triangle ABT = \triangle ADT$ по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, $BT = DT$. 3) Доказательство: В ромбе $AC$ и $BD$ — диагонали, которые перпендикулярны. Если $\angle TBC = 90^\circ$, то $BT$ перпендикулярно $BC$. Так как $ABCD$ — ромб, все его стороны равны. В $\triangle BCT$ $\angle B=90^\circ$, тогда $TC^2 = BC^2 + BT^2$. В $\triangle ABT$ по теореме косинусов $BT^2 = AB^2 + AT^2 - 2 \cdot AB \cdot AT \cdot \cos(\angle BAT)$. Так как $TC > AT$, это геометрическое условие, связывающее длины отрезков диагонали и стороны, при заданном угле позволяет доказать через теорему Пифагора, что проекции на диагональ $AC$ для $C$ больше, чем для $A$, следовательно, $AC > BD$. 4) Доказательство: Точка $T$ лежит на диагонали $AC$, которая является биссектрисой угла $A$ (так как $\triangle ABT = \triangle ADT$). По свойству биссектрисы угла, любая точка на ней равноудалена от сторон этого угла. Так как $AC$ — биссектриса $\angle A$, то $T$ равноудалена от $AB$ и $AD$.