19.19. Серединный перпендикуляр гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC пересекает катет AC в точке M. Известно, что AM = 2MC. Найдите острые углы треугольника ABC.

Question

Вопрос:

19.19. Серединный перпендикуляр гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC пересекает катет AC в точке M. Известно, что AM = 2MC. Найдите острые углы треугольника ABC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, значит, она равноудалена от концов отрезка: $MA = MB$. 2. По условию $AM = 2MC$, следовательно, $MB = 2MC$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBC$ ($\angle C = 90^\circ$). В нем катет $MC$ равен половине гипотенузы $MB$, значит, угол, лежащий против катета $MC$ ($\angle MBC$), равен $30^\circ$. 4. Тогда $\angle BMC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 5. Углы $\angle BMC$ и $\angle AMB$ — смежные, поэтому $\angle AMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. 6. Треугольник $ABM$ — равнобедренный ($MA = MB$), значит, углы при основании $AB$ равны: $\angle MAB = \angle MBA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. 7. Итак, $\angle A = 30^\circ$, тогда $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

19.19. Серединный перпендикуляр гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC пересекает катет AC в точке M. Известно, что AM = 2MC. Найдите острые углы треугольника ABC.

Ответ ассистента

Другие решения