На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 140.

Давайте проанализируем «змейку» на рисунке. 1. **Наблюдение:** Змейка начинает движение из центра и раскручивается по спирали. Длины звеньев этой змейки идут в последовательности: $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, \dots, n, n$. 2. **Анализ условия:** В нашем примере последнее звено имеет длину 10. Значит, последовательность длин звеньев заканчивается на $10, 10$. Так как звеньев чётное количество, это согласуется с условием. 3. **Обобщение:** Если последнее звено имеет длину $L = 140$, то вся последовательность длин звеньев выглядит так: $1, 1, 2, 2, 3, 3, \dots, 139, 139, 140, 140$. 4. **Расчет:** Нужно найти сумму длин всех этих звеньев. Заметим, что каждое число от 1 до 140 встречается дважды. Сумма $S = 2 \times (1 + 2 + 3 + \dots + 140)$. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{1 + n}{2} \times n$, где $n = 140$. Сумма чисел от 1 до 140 равна $\frac{1 + 140}{2} \times 140 = 141 \times 70 = 9870$. Тогда общая длина ломаной равна $2 \times 9870 = 19740$. **Ответ:** 19740