16. Андрей планирует 15 декабря взять кредит в банке на 3 года в размере 2 584 500 рублей.

Пусть $S = 2584500$ — сумма кредита. Рассмотрим два плана. ### План 1: Аннуитетные платежи Кредит на 3 года под 7,5% годовых ($r = 0,075$, $k = 1,075$). Пусть $x$ — сумма ежегодного платежа. 1. Через год долг: $S imes k - x$ 2. Через 2 года долг: $(S imes k - x) imes k - x = S imes k^2 - x imes k - x$ 3. Через 3 года долг: $(S imes k^2 - x imes k - x) imes k - x = S imes k^3 - x(k^2 + k + 1) = 0$ Отсюда сумма платежа: $x = S imes \frac{k^3}{k^2 + k + 1} = 2584500 \times \frac{1,075^3}{1,075^2 + 1,075 + 1} = 2584500 \times \frac{1,242296875}{3,330625} = 964296,875 \text{ руб.}$ Общая сумма выплат: $3x = 3 imes 964296,875 = 2892890,625 \text{ руб.}$ ### План 2: Дифференцированные платежи Кредит на 36 месяцев под 1% в месяц ($r = 0,01$). Долг уменьшается равномерно на $S/36 = 2584500/36 = 71791,666... \text{ руб.}$ ежемесячно. Сумма выплат при дифференцированных платежах рассчитывается как сумма основного долга ($S$) и начисленных процентов. Проценты набегают на остаток долга каждый месяц: Проценты = $r imes (S_{1} + S_{2} + ... + S_{36})$, где $S_n$ — остаток долга после $n$-го месяца. $S_n = S - n \times (S/36) = S(1 - n/36)$. Сумма процентов: $r \times S \times (35/36 + 34/36 + ... + 1/36 + 0/36) = r \times S \times \frac{1}{36} \times \frac{35 \times 36}{2} = r \times S \times \frac{35}{2} = 0,01 \times 2584500 \times 17,5 = 452287,5 \text{ руб.}$ Общая сумма выплат: $2584500 + 452287,5 = 3036787,5 \text{ руб.}$ ### Сравнение Выгоднее первый план. Разница: $3036787,5 - 2892890,625 = 143896,875 \text{ руб.}$ **Ответ: 143896,875**