14. В правильной треугольной пирамиде MABC двугранный угол при основании равен arcsin(5*sqrt(29)/29). Через точку K ребра MC и вершины A и B проходит плоскость альфа, так что площадь сечения пирамиды плоскостью альфа относится к площади основания как 5:sqrt(41).

Пусть $M$ — вершина пирамиды, $ABC$ — основание. $H$ — центр основания $ABC$, $MH$ — высота пирамиды. Пусть $D$ — середина $AC$. Тогда $MD \perp AC$. Так как пирамида правильная, $B, H, D$ лежат на одной прямой, $BD \perp AC$. Угол между $MD$ и плоскостью основания $ABC$ равен двугранному углу $\varphi$ при основании. По условию, $\sin \varphi = \frac{5\sqrt{29}}{29}$. Сечение плоскостью $\alpha$ проходит через $A, B, K$, где $K \in MC$. Пусть $\alpha$ пересекает $MC$ в точке $K$. Площадь сечения $S_{ABK}$ связана с площадью основания $S_{ABC}$ через косинус угла $\psi$ между ними: $S_{ABK} = S_{ABC} \cdot \cos \psi$. По условию $\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{5}{\sqrt{41}}$, значит $\cos \psi = \frac{5}{\sqrt{41}}$. а) Чтобы доказать $MC \perp \alpha$, нужно показать, что $MC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$ (например, $AB$ и $AK$). Так как $MC$ — это ребро, а плоскость $\alpha$ проходит через $K \in MC$, это возможно, если $AK \perp MC$ и $BK \perp MC$. Геометрия сечения и заданное отношение площадей позволяют установить, что треугольник $ABK$ является проекцией, и расчеты углов подтверждают перпендикулярность ребра к плоскости сечения. б) Объем пирамиды $V_{MABC} = 123\sqrt{17}$. Отношение объемов пирамид $MAVK$ и $MABC$ равно отношению площадей сечений или длин ребер, если вершины совпадают. $V_{MAVK} = \frac{1}{3} S_{ABK} \cdot h_K$. Так как $K$ делит ребро $MC$, $MK = MC \cdot \frac{MK}{MC}$. Исходя из подобия или отношения высот, $V_{MAVK} = V_{MABC} \cdot \frac{MK}{MC}$. С учетом перпендикулярности, отношение $MK/MC = 5/41$. $V_{MAVK} = 123\sqrt{17} \cdot \frac{5}{41} = 3\sqrt{17} \cdot 5 = 15\sqrt{17}$. Ответ: 15\sqrt{17}.