15. Решите неравенство (2x^3 - 11x^2 + 12x + 9) / (3^{2x+1} - 7 * 3^x + 2) <= 0

Для решения неравенства $\frac{2x^3 - 11x^2 + 12x + 9}{3^{2x+1} - 7 \cdot 3^x + 2} \le 0$, разложим числитель и знаменатель на множители. ### 1. Числитель: $P(x) = 2x^3 - 11x^2 + 12x + 9$ Найдем корни многочлена. Проверим целые делители свободного члена $9$ ($\pm 1, \pm 3, \dots$). При $x = 3$: $2(27) - 11(9) + 12(3) + 9 = 54 - 99 + 36 + 9 = 0$. Значит, $(x - 3)$ — множитель. Разделим $2x^3 - 11x^2 + 12x + 9$ на $(x - 3)$: $(2x^3 - 11x^2 + 12x + 9) = (x - 3)(2x^2 - 5x - 3)$. Разложим $2x^2 - 5x - 3$ через дискриминант или группировку: $(2x+1)(x-3)$. Итого числитель: $(x-3)^2(2x+1)$. ### 2. Знаменатель: $Q(x) = 3^{2x+1} - 7 \cdot 3^x + 2$ Пусть $3^x = t$, где $t > 0$. Тогда $3 \cdot t^2 - 7t + 2 = 0$. Корни квадратного уравнения: $t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6}$. $t_1 = 2$, $t_2 = 1/3$. Возвращаясь к $x$: $3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$ $3^x = 1/3 \Rightarrow x = -1$ Знаменатель: $3(3^x - 2)(3^x - 1/3) = 3(3^x - 2)(3^x - 3^{-1}) = 3(3^x - 2)(3^x - 1/3)$. Для метода интервалов удобнее привести к виду $(x - \log_3 2)(x + 1)$. ### 3. Решение неравенства $\frac{(x-3)^2(2x+1)}{(x+1)(x-\log_3 2)} \le 0$ Точки на числовой прямой (нули числителя и знаменателя): - Нули: $x = 3$ (корень кратности 2, знак не меняется), $x = -0.5$. - Разрывы: $x = -1$, $x = \log_3 2 \approx 0.63$. Расставим знаки на интервалах: - $(-\infty; -1)$: $(-)(-) / (-) = - / + = -$ - $(-1; -0.5]$: $(-)(+) / (-)(-) = - / + = -$ Wait, checking signs: - При $x = 0$: $(0-3)^2(0+1) / (0+1)(0-\log_3 2) = (+) / (-) = -$. Так, стоп. Давайте проверим знаки: 1. $(-\infty; -1)$: $(-)(-) / (-)(-) = +$ 2. $(-1; -0.5]$: $(-)(+) / (-)(-) = -$ 3. $[-0.5; \log_3 2)$: $(-)(+) / (+)(-) = +$ 4. $(\log_3 2; 3)$: $(-)(+) / (+)(+) = -$ 5. $(3; \infty)$: $(+)(+) / (+)(+) = +$ Нас интересуют промежутки $\le 0$: $(-1; -0.5] \cup (\log_3 2; 3]$ **Ответ:** $x \in (-1; -0.5] \cup (\log_3 2; 3]$