Решите неравенство 2x^3 - 11x^2 + 12x + 9 / 3^(2x+1) - 7*3^x + 2 <= 0

Давай разберем задачу №15. ### Решение задачи №15 Необходимо решить неравенство: $$\frac{2x^3-11x^2+12x+9}{3^{2x+1}-7\cdot3^x+2} \le 0$$ **1. Разложим числитель на множители:** Пусть $P(x) = 2x^3-11x^2+12x+9$. Заметим, что $x=3$ является корнем: $2(27) - 11(9) + 12(3) + 9 = 54 - 99 + 36 + 9 = 0$. Значит, $(x-3)$ — множитель. Делением многочленов получаем: $2x^3-11x^2+12x+9 = (x-3)(2x^2-5x-3)$. Далее: $2x^2-5x-3 = (x-3)(2x+1)$. Итого числитель: $(x-3)^2(2x+1)$. **2. Преобразуем знаменатель:** Пусть $t = 3^x$, $t > 0$. Тогда $3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2 = 3t^2$. Знаменатель: $3t^2 - 7t + 2$. Корни уравнения $3t^2 - 7t + 2 = 0$ (через дискриминант $D = 49 - 24 = 25$): $t_1 = \frac{7+5}{6} = 2$, $t_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{1}{3}$. Знаменатель: $3(t-2)(t-\frac{1}{3}) = (t-2)(3t-1) = (3^x-2)(3^{x+1}-1)$. **3. Неравенство принимает вид:** $$\frac{(x-3)^2(2x+1)}{(3^x-2)(3^{x+1}-1)} \le 0$$ Найдем нули числителя и знаменателя: - Числитель: $x=3$ (кратность 2, знак не меняется), $x = -0,5$. - Знаменатель: $3^x=2 \Rightarrow x = \log_3 2$, $3^{x+1}=1 \Rightarrow x = -1$. **4. Метод интервалов:** Точки: $-1$ (выкл.), $-0,5$ (вкл.), $\log_3 2$ (выкл.), $3$ (вкл., петля). Знаки на интервалах (справа налево): $(+), (+), (-), (+), (-)$. Нас интересует $\le 0$. **Ответ:** $x \in (-1; -0,5] \cup (\log_3 2; 3] \cup \{3\} = (-1; -0,5] \cup (\log_3 2; 3]$.