13. а) Решите уравнение 4 sin x cos^2 x - √3 = 2 cos x(1 - √3 sin x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

### а) Решение уравнения Дано уравнение: $4 \sin x \cos^2 x - \sqrt{3} = 2 \cos x (1 - \sqrt{3} \sin x)$ 1. Раскроем скобки в правой части: $4 \sin x \cos^2 x - \sqrt{3} = 2 \cos x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x$ 2. Перенесем все слагаемые влево: $4 \sin x \cos^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0$ 3. Сгруппируем слагаемые: $(4 \sin x \cos^2 x - 2 \cos x) + (2\sqrt{3} \sin x \cos x - \sqrt{3}) = 0$ $2 \cos x (2 \sin x \cos x - 1) + \sqrt{3} (2 \sin x \cos x - 1) = 0$ 4. Вынесем общий множитель: $(2 \cos x + \sqrt{3}) (2 \sin x \cos x - 1) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: **Случай 1:** $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$ $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Случай 2:** $2 \sin x \cos x - 1 = 0$ $\sin(2x) = 1$ $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$ 1. Для $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$: - При $n = -1$: $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$ (не входит) $x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -2.83\pi$ (входит: $-\frac{17\pi}{6} > -3.5\pi$) - При $n = -2$: $x = -\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{29\pi}{6}$ (не входит) $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \approx -3.16\pi$ (входит: $-\frac{19\pi}{6} > -3.5\pi$) 2. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$: - При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{11\pi}{4} = -2.75\pi$ (входит: $-3.5\pi < -2.75\pi < -2\pi$) - При $k = -4$: $x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4} = -3.75\pi$ (не входит) - При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} = -1.75\pi$ (не входит, так как $-1.75\pi > -2\pi$) **Ответ:** а) $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + \pi k, n,k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi}{6}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{17\pi}{6}$.