4.288. В трапеции ABCD длины оснований AD и BC относятся как 8 : 1. В трапецию вписана окружность, которая касается стороны CD в точке K, причем CK : KD = 5 : 4. Найдите отношение AB к CD.

Пусть основания трапеции $AD = 8x$ и $BC = x$. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма длин противоположных сторон равна: $AD + BC = AB + CD$. Следовательно, $AB + CD = 8x + x = 9x$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, $r$ — её радиус. Окружность касается сторон трапеции в точках касания. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Пусть $BC$ касается окружности в точке $P$, $CD$ — в точке $K$, $AD$ — в точке $M$, $AB$ — в точке $N$. Тогда: $CP = CK$ и $KD = DK$ (здесь $KD$ — отрезок, обозначим части стороны $CD$). По условию $CK : KD = 5 : 4$. Пусть $CK = 5y$, $KD = 4y$. Тогда сторона $CD = CK + KD = 5y + 4y = 9y$. Отрезки касательных из вершин к окружности: $C P = C K = 5y$ $B P = B N$ (обозначим $B N = a$) $A N = A M$ (обозначим $A M = b$) $D M = D K = 4y$ Тогда стороны: $BC = BP + PC = a + 5y = x$ $AD = AM + MD = b + 4y = 8x$ $CD = 9y$ $AB = AN + NB = b + a$ Так как $AB + CD = 9x$, то $b + a + 9y = 9x ightarrow a + b = 9(x - y)$. Также известно, что $a = x - 5y$ и $b = 8x - 4y$. Подставим эти значения в уравнение суммы сторон: $(x - 5y) + (8x - 4y) = 9x - 9y$ $9x - 9y = 9x - 9y$. Это тождество верно при любом соотношении сторон. Используем свойство прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции и центром вписанной окружности, либо проекциями. В трапеции, описанной около окружности, высота $h = 2r$. Также справедливо соотношение, связывающее отрезки касательных: $r^2 = CK \cdot KD = 5y \cdot 4y = 20y^2 ightarrow r = y\sqrt{20} = 2y\sqrt{5}$. Высота трапеции $h = 2r = 4y\sqrt{5}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $CD = 9y$. Разность оснований равна $AD - BC = 8x - x = 7x$. Высота $h^2 + (AD - BC - (DK-CK)^2...)$ — проще через проекции боковой стороны на большее основание. В трапеции, вписанной около окружности, боковая сторона $CD$ и высота $h$ связаны с $CK, KD$ соотношением $h^2 = 4 \cdot CK \cdot KD = 4 \cdot 5y \cdot 4y = 80y^2$. С другой стороны, для боковой стороны $AB$ имеем $h^2 = 4 \cdot BN \cdot AM$. Так как $BN = x - 5y$ и $AM = 8x - 4y$, получаем: $80y^2 = 4(x - 5y)(8x - 4y) = 4(8x^2 - 4xy - 40xy + 20y^2) = 32x^2 - 176xy + 80y^2$. $80y^2 = 32x^2 - 176xy + 80y^2$ $32x^2 = 176xy$ $2x = 11y ightarrow x = 5.5y$. Тогда $CD = 9y$, а $AB = 9x - CD = 9(5.5y) - 9y = 49.5y - 9y = 40.5y$. Искомое отношение $AB : CD = 40.5y : 9y = 4.5 = 9/2$. Ответ: 4,5