4.272. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Вписанная окружность с радиусом $r = 4$ касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Пусть сторона $BC$ разделена точкой касания $D$ на отрезки $BD = 6$ и $DC = 8$. 1. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности, обозначим отрезки касательных: $BD = BF = 6$ $CD = CE = 8$ Пусть $AF = AE = x$. 2. Стороны треугольника выражаются так: $a = BC = 6 + 8 = 14$ $b = AC = 8 + x$ $c = AB = 6 + x$ 3. Полупериметр $p$ равен: $p = \frac{14 + (8+x) + (6+x)}{2} = \frac{28 + 2x}{2} = 14 + x$ 4. Площадь треугольника по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$: $S = \sqrt{(14+x)(14+x-14)(14+x-(8+x))(14+x-(6+x))}$ $S = \sqrt{(14+x) \cdot x \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{48x(14+x)}$ 5. С другой стороны, $S = p \cdot r$: $S = (14+x) \cdot 4$ 6. Приравняем два выражения для площади: $(14+x) \cdot 4 = \sqrt{48x(14+x)}$ Возведем обе части в квадрат: $16(14+x)^2 = 48x(14+x)$ Так как $14+x > 0$, разделим на $16(14+x)$: $14+x = 3x$ $2x = 14$ $x = 7$ 7. Находим стороны: $a = 14$ $b = 8 + 7 = 15$ $c = 6 + 7 = 13$ **Ответ:** 13, 14, 15.