1. Вычислить интегралы: а) \int_{2}^{5} \left(\frac{3}{x^2+3} + \frac{6}{x^2-3}\right) dx; б) \int \sin^2 3x dx.

Привет! Давай разберем твои задания по математическому анализу. Это задачи из курса высшей математики. ### 1. Вычислить интегралы а) $\int_{2}^{5} \left(\frac{3}{x^2+3} + \frac{6}{x^2-3}\right) dx$ Используем табличные интегралы $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a} + C$ и $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$. Для первого слагаемого $a = \sqrt{3}$, для второго $a = \sqrt{3}$. $3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{3}} + 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \left| \frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} \right| = \sqrt{3} \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \ln \left| \frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} \right|$ Подставляем пределы от 2 до 5: Результат: $\sqrt{3} (\operatorname{arctg} \frac{5}{\sqrt{3}} - \operatorname{arctg} \frac{2}{\sqrt{3}}) + \sqrt{3} (\ln \frac{5-\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}} - \ln \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}})$. б) $\int \sin^2 3x dx$ Используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. $\int \frac{1 - \cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos 6x dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{12} \sin 6x + C$. ### 2. Площадь фигуры Линии: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $x = 0$. Пересечение графиков в первой четверти: $\sin x = \cos x \Rightarrow \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$. Площадь $S = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$. ### 3. Дифференциальное уравнение $yy' = \frac{1-2x}{y}$ $y \frac{dy}{dx} = \frac{1-2x}{y} \Rightarrow y^2 dy = (1-2x) dx$. Интегрируем обе части: $\int y^2 dy = \int (1-2x) dx \Rightarrow \frac{y^3}{3} = x - x^2 + C$. Общее решение: $y = \sqrt[3]{3(C + x - x^2)}$. ### 4. Дифференциальное уравнение $y'' + 2y' + 5y = 0$ Характеристическое уравнение: $k^2 + 2k + 5 = 0$. Дискриминант $D = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$. Корни: $k = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$. Общее решение: $y = e^{-x} (C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$.