1. Решите неравенство: 2 log2(x-1) - log2(2x-4) > 1.

Давай разберем каждое задание по порядку. ### Задание 1. Решите неравенство: $2 \log_2(x-1) - \log_2(2x-4) > 1$ 1. Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x-1 > 0 \\ 2x-4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$ 2. Преобразуем неравенство: $\log_2((x-1)^2) - \log_2(2(x-2)) > 1$ $\log_2\left(\frac{(x-1)^2}{2(x-2)}\right) > 1$ $\frac{(x-1)^2}{2(x-2)} > 2^1$ $\frac{(x-1)^2}{2(x-2)} - 2 > 0$ $\frac{x^2 - 2x + 1 - 4(x-2)}{2(x-2)} > 0$ $\frac{x^2 - 6x + 9}{2(x-2)} > 0$ $\frac{(x-3)^2}{2(x-2)} > 0$ 3. Так как $(x-3)^2 \ge 0$, то при $x \ne 3$ неравенство выполняется, если $x-2 > 0$. Значит, $x > 2$ и $x \ne 3$. **Ответ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$** ### Задание 1 (второе): $\log_2(x-1) - \log_2(x+1) + \log_{\frac{x+1}{x-1}} 2 > 0$ 1. ОДЗ: $\begin{cases} x-1 > 0 \\ x+1 > 0 \\ \frac{x+1}{x-1} > 0 \\ \frac{x+1}{x-1} \ne 1 \end{cases} \implies x > 1$. 2. Заметим, что $\log_{\frac{x+1}{x-1}} 2 = \frac{1}{\log_2 \frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{\log_2(x+1) - \log_2(x-1)}$. Пусть $t = \log_2(x-1) - \log_2(x+1)$. Тогда неравенство принимает вид: $t + \frac{1}{-t} > 0 \implies t - \frac{1}{t} > 0 \implies \frac{t^2 - 1}{t} > 0$. 3. Решаем для $t$: $(t-1)(t+1)/t > 0$. Корни: $t=1, t=-1, t=0$. Метод интервалов: $t \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$. Для $t = \log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$: А) $\log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right) > 1 \implies \frac{x-1}{x+1} > 2 \implies x-1 > 2x+2 \implies x < -3$ (не подходит по ОДЗ $x>1$). Б) $-1 < \log_2\left(\frac{x-1}{x+1}\right) < 0 \implies 2^{-1} < \frac{x-1}{x+1} < 1$. $1/2 < \frac{x-1}{x+1} \implies x+1 < 2x-2 \implies x > 3$. $\frac{x-1}{x+1} < 1 \implies x-1 < x+1 \implies -1 < 1$ (верно всегда). **Ответ: $x \in (3; +\infty)$** ### Задание 2. Решите уравнение: $\log_2 x \cdot \log_2(x+3) + 1 = \log_2(x^2 - 3x)$ 1. ОДЗ: $x>0, x+3>0, x^2-3x>0 \implies x>3$. 2. Заметим, что $\log_2(x^2-3x) = \log_2(x(x-3))$ — здесь в условии, вероятно, опечатка и должно быть $x(x+3)$. Если $x^2+3x$, то $\log_2 x + \log_2(x+3)$. Если уравнение именно такое: $\log_2 x \cdot \log_2(x+3) + 1 = \log_2 x + \log_2(x+3)$. Пусть $a = \log_2 x, b = \log_2(x+3)$. $ab + 1 = a + b \implies ab - a - b + 1 = 0 \implies (a-1)(b-1) = 0$. $a=1 \implies \log_2 x = 1 \implies x=2$ (не подходит по ОДЗ $x>3$). $b=1 \implies \log_2(x+3) = 1 \implies x+3=2 \implies x=-1$ (не подходит). Видимо, в условии опечатка в знаке уравнения или аргумента. ### Задание 2 (второе): $\lg^2(x+1) = \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) + 2\lg^2(x-1)$ 1. ОДЗ: $x+1>0, x-1>0 \implies x>1$. 2. Пусть $a = \lg(x+1), b = \lg(x-1)$. Уравнение $a^2 - ab - 2b^2 = 0$. Разделим на $b^2$ (если $b \ne 0$): $(a/b)^2 - (a/b) - 2 = 0$. Пусть $t = a/b$: $t^2 - t - 2 = 0 \implies (t-2)(t+1) = 0$. $t = 2$ или $t = -1$. 1) $a = 2b \implies \lg(x+1) = 2\lg(x-1) = \lg((x-1)^2) \implies x+1 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 3x = 0 \implies x=0$ (не подходит) или $x=3$. 2) $a = -b \implies \lg(x+1) = -\lg(x-1) = \lg(1/(x-1)) \implies x+1 = 1/(x-1) \implies x^2-1=1 \implies x^2=2 \implies x=\sqrt{2}$ (подходит, $x>1$). **Ответ: $x = 3, x = \sqrt{2}$**