1. Найдите значение выражения 21^0.5 * 7^0.5 / 3^0.5

1. $21^{0.5} \cdot 7^{0.5} : 3^{0.5} = (21 \cdot 7 / 3)^{0.5} = (49)^{0.5} = 7$. 2. $sin^2 x + sin x - 2 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $t^2 + t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 1$, $t_2 = -2$. Так как $|-2| > 1$, подходит только $t = 1$. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 3. $y = \log_3(4 - 5x)$. ОДЗ: $4 - 5x > 0 \Rightarrow 5x < 4 \Rightarrow x < 0.8$. Ответ: $(-\infty; 0.8)$. 4. $x - 6 = \sqrt{2x + 12}$. Возведем в квадрат: $(x - 6)^2 = 2x + 12 \Rightarrow x^2 - 12x + 36 = 2x + 12 \Rightarrow x^2 - 14x + 24 = 0$. Корни: $x_1 = 12, x_2 = 2$. Проверка: $12-6 = \sqrt{24+12} = 6$ (верно). $2-6 = -4$, а $\sqrt{4+12} = 4$ (неверно). Ответ: 12. 5. $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$. Пусть $3^x = t$ ($t > 0$). $t^2 - 8t - 9 = 0$. Корни: $t_1 = 9, t_2 = -1$ (не подходит). $3^x = 9 \Rightarrow x = 2$. 6. $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17$. $y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Критические точки: $x=1, x=3$. Функция возрастает на $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$. 7. $\log_3 12 - \log_3 15 - \log_3 20 = \log_3(\frac{12}{15 \cdot 20}) = \log_3(\frac{12}{300}) = \log_3(\frac{1}{25}) = \log_3(25^{-1}) = -\log_3 25 = -2\log_3 5$. 8. $F(x) = \int (4x + \frac{1}{x}) dx = 2x^2 + \ln|x| + C$. Проходит через $M(-1; 4)$: $4 = 2(-1)^2 + \ln|-1| + C \Rightarrow 4 = 2 + 0 + C \Rightarrow C = 2$. $F(x) = 2x^2 + \ln|x| + 2$. 9. Пусть стороны $a$ и $b$ делятся высотой $h$ на отрезки $4, x$ и $8, x$ (или аналогично). Однако стандартная задача (теорема Пифагора): стороны $c_1, c_2$. $c_1^2 - 4^2 = c_2^2 - 8^2$ и $|c_1 - c_2| = 2$. Решив систему: $c_1 = 6, c_2 = 8$. 10. $R = 18 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$. $H = 18 \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot 0.5 = 9$. $l = 18$. $S_{полн} = \pi R(l + R) = \pi \cdot 9\sqrt{3} \cdot (18 + 9\sqrt{3}) = 162\pi\sqrt{3} + 243\pi$.