Вычислите значение выражения log_{0,5} 8 - log_{0,5} 0,25.

Давай разберем задания из твоего варианта. 1. Вычислите значение выражения $\log_{0,5} 8 - \log_{0,5} 0,25$. Используем свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_{0,5} (8 / 0,25) = \log_{0,5} 32$. Так как $0,5 = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$, то $\log_{2^{-1}} 2^5 = 5 / (-1) = -5$. **Ответ: -5** 2. Упростите выражение $\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x - \sin x$. Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$: $\sin(2x - 3x) - \sin x = \sin(-x) - \sin x$. Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $-\sin x - \sin x = -2\sin x$. **Ответ: -2\sin x** 3. Решите неравенство $3^{x+1} + 3^x < 36$. Вынесем $3^x$ за скобки: $3^x(3 + 1) < 36 \Rightarrow 3^x \cdot 4 < 36 \Rightarrow 3^x < 9$. Так как $9 = 3^2$, то $x < 2$. **Ответ: x < 2** 4. Решите уравнение $\log_{0,5}(2x - 4) = -2$. По определению логарифма: $2x - 4 = (0,5)^{-2}$. $(0,5)^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$. $2x - 4 = 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$. Проверка: $2(4) - 4 = 4 > 0$, подходит. **Ответ: 4** 5. Найдите область определения $y = \sqrt{\log_{0,5}(2x - 10)}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_{0,5}(2x - 10) \ge 0$. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак меняется: $2x - 10 \le (0,5)^0 \Rightarrow 2x - 10 \le 1 \Rightarrow 2x \le 11 \Rightarrow x \le 5,5$. Также аргумент логарифма должен быть положительным: $2x - 10 > 0 \Rightarrow x > 5$. **Ответ: (5; 5,5]** 6. Решите уравнение $\sqrt{2x+1} = x - 1$. Возведем обе части в квадрат: $2x + 1 = (x - 1)^2$. $2x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Проверка: при $x=0$ $\sqrt{0+1} = -1$ (неверно), при $x=4$ $\sqrt{8+1} = 4-1$ (верно, $3=3$). **Ответ: 4** 7. Вычислите значение $x$, при котором производная функции $f(x) = 4x^2 + 16x - 3$ равна 0. Находим производную: $f'(x) = 8x + 16$. Приравниваем к нулю: $8x + 16 = 0 \Rightarrow 8x = -16 \Rightarrow x = -2$. **Ответ: -2** 8. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = -x^2$, $y = x - 2$. Находим точки пересечения: $-x^2 = x - 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x = -2$ и $x = 1$. Площадь $S = \int_{-2}^1 (x - 2 - (-x^2)) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + x - 2) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^1$. Подставляем пределы: $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) - (\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} + 4) = (\frac{5}{6} - 2) - (-\frac{8}{3} + 6) = -\frac{7}{6} - \frac{10}{3} = -\frac{7}{6} - \frac{20}{6} = -4,5$. Так как площадь берется по модулю: $4,5$. **Ответ: 4,5** 9. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 12, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9. Пусть катеты $a=12$, $b$. Проекция $b$ на гипотенузу $b_c = 9$. По свойству катета $b^2 = b_c \cdot c$ ($c$ — гипотенуза). Также $a^2 = a_c \cdot c$. Так как $a_c = c - 9$, то $144 = (c - 9) \cdot c \Rightarrow c^2 - 9c - 144 = 0$. Дискриминант $D = 81 - 4(1)(-144) = 81 + 576 = 657$. $c = \frac{9 + \sqrt{657}}{2}$. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен гипотенузе. **Ответ: \frac{9 + \sqrt{657}}{2}**