1. Найдите значение выражения 35^-4,7 * 7^5,7 : 5^-3,7

1. Найдите значение выражения $35^{-4,7} \cdot 7^{5,7} \cdot 5^{-3,7}$ $35^{-4,7} \cdot 7^{5,7} \cdot 5^{-3,7} = (5 \cdot 7)^{-4,7} \cdot 7^{5,7} \cdot 5^{-3,7} = 5^{-4,7} \cdot 7^{-4,7} \cdot 7^{5,7} \cdot 5^{-3,7} = 5^{-4,7 - 3,7} \cdot 7^{-4,7 + 5,7} = 5^{-8,4} \cdot 7^1 = 7 \cdot 5^{-8,4}$. 2. Решите уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. $2t^2 + t - 1 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$ $t_1 = \frac{-1+3}{4} = 0,5$, $t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$. 1) $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 3. Найдите область определения функции $y = \log_{0,2}(10-5x)$ Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $10 - 5x > 0$ $-5x > -10$ $x < 2$. Область определения: $(-\infty; 2)$. 4. Решите неравенство $3^{x+2} - 3^x \le 24$ $3^x \cdot 3^2 - 3^x \le 24$ $3^x(9 - 1) \le 24$ $8 \cdot 3^x \le 24$ $3^x \le 3^1 \Rightarrow x \le 1$. 5. Решите уравнение $\sqrt{x - 2} = x - 8$ Возведем обе части в квадрат (с условием $x - 8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8$): $x - 2 = (x - 8)^2$ $x - 2 = x^2 - 16x + 64$ $x^2 - 17x + 66 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 6$, $x_2 = 11$. Проверка условия $x \ge 8$: $x=6$ (не подходит), $x=11$ (подходит). Ответ: $11$. 6. Найдите точки минимума функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$ $y' = 3x^2 - 6x$ $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0$ Критические точки: $x=0$, $x=2$. При $x < 0$ $y' > 0$ (функция растет), при $0 < x < 2$ $y' < 0$ (функция убывает), при $x > 2$ $y' > 0$ (функция растет). Минимум в точке $x = 2$. 7. Вычислите значение выражения $\log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10$ $\log_9 \left(\frac{15 \cdot 18}{10}\right) = \log_9 \left(\frac{270}{10}\right) = \log_9 27 = \log_9 (9^{1,5}) = 1,5$. 8. Найдите первообразную функции $f(x) = 1 - 2x$, график которой проходит через точку $M(3; 2)$ $F(x) = \int (1 - 2x) dx = x - x^2 + C$ $F(3) = 2 \Rightarrow 3 - 3^2 + C = 2$ $3 - 9 + C = 2 \Rightarrow -6 + C = 2 \Rightarrow C = 8$. $F(x) = x - x^2 + 8$.