1. Найдите производную функции: 1) f(x) = x^4 - 2x^2 - 4; 2) f(x) = x^4 + 2x

### 1. Найдите производную функции: 1) $(x^4 - 2x^2 - 4)' = 4x^3 - 4x$ 2) $(x^4 + 2x)' = 4x^3 + 2$ ### 2. Точки минимума На рисунке изображен график производной $y = f'(x)$. Точки минимума функции $f(x)$ — это точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс (график пересекает ось $x$ снизу вверх). На графике видно 2 такие точки. **Ответ: 2** ### 3. Точка минимума функции На рисунке изображен график производной $y = f'(x)$. Точка минимума — это точка, где производная меняет знак с $-$ на $+$. На графике производной это точка, где график пересекает ось $x$ (абсцисс) при переходе из нижней полуплоскости в верхнюю. Это происходит в точке $x = 0$. **Ответ: 0** ### 4. Найдите площадь фигуры Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_1^3 (4x - x^2) dx = [2x^2 - \frac{x^3}{3}]_1^3 = (2 \cdot 9 - \frac{27}{3}) - (2 \cdot 1 - \frac{1}{3}) = (18 - 9) - (2 - \frac{1}{3}) = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27-5}{3} = \frac{22}{3} = 7 \frac{1}{3} \approx 7,33$ ### 5. Укажите первообразную функции $f(x) = 2 - \sin x$ Первообразная $F(x) = \int (2 - \sin x) dx = 2x - (-\cos x) + C = 2x + \cos x + C$. Подходит вариант 3 (с учетом $C=0$). **Ответ: 3** ### 6. Найдите все первообразные функции: 1) $F(x) = \int (6x - 2x) dx = \int 4x dx = 2x^2 + C$ 2) $F(x) = \int (2x^2 + 4x - 2) dx = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + C$ ### 7. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $f(x) = 6x - x^2$ и осью абсцисс Находим корни уравнения $6x - x^2 = 0 \Rightarrow x(6-x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 6$. Границы интегрирования от 0 до 6. $S = \int_0^6 (6x - x^2) dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^6 = (3 \cdot 36 - \frac{216}{3}) - 0 = 108 - 72 = 36$. **Ответ: 36** ### 8. Какие из утверждений справедливы для правильной пирамиды: - В её основании лежит правильный многоугольник: **ДА** - Все её грани — правильные многоугольники: **НЕТ** (грани — равнобедренные треугольники) - Апофемой называется высота правильной пирамиды: **НЕТ** (апофема — это высота боковой грани)